جبر_معرفی و انواع

جبر از شاخه های اصلی علم ریاضیات است که تاریخی بیش از 3000 سال دارد. 
این علم در طول تاریخ تحولات بسیاری داشته و در حال حاضر شامل شاخه‌های زیادی است. 

---

تاریخچه

تاریخچه‌ی این علم به بیش از 3000 سال پیش در مصر و بابل برمی‌گردد که در آنجا در مورد حل برخی از معادلات خطی بحث شده است. در هند و یونان باستان نیز ، حدود یک قرن پیش از میلاد از روش‌های هندسی برای حل برخی از معادلات جبری استفاده می‌گردیده است . در قرن اول میلادی نیز بحث در مورد برخی از معادلات جبری در آثار دیوفانتوس یونانی و برهماگوپتای هندی دیده می شود. 

کتاب جبر و المقابله ی خوارزمی ، اولین اثر کلاسیک در جبر می‌باشد که که کلمه‌ی جبر یا‌Algebra از آن آمده است. خیام دیگر ریاضی‌دان شهیر ایرانی است که در آثار خود جبر را از حساب تمییز داد و گامی بزرگ را در تجرید و پیشرفت این علم برداشت. 
درقرن 16 میلادی ، روش حل معادلات درجه سوم توسط دل‌فرو (Scipione del Ferro) و معادلات درجه چهارم توسط فراری (Ludovico Ferrari )کشف گردید. 

اواریست گالوا ( Évariste Galois ) ، ریاضی‌دان فرانسوی که در 20 سالگی در جریان انقلاب فرانسه در یک دوئل کشته شد ، بیشترین سهم را در پیشرفت و تجرید این علم داشت که نوشته‌های او ، سال‌ها پس از مرگش ، پس از مطالعه و بررسی توسط دیگر ریاضی‌دانان موجب تحول عظیم در این علم گردید. 

نیلز هنریک ابل ( Niels Henrik Abel ) نروژی اولین کسی بود که ثابت کرد معادلات درجه 5 به بالا ،‌بوسیله‌ی رادیکال‌ها حل پذیر نیستند. 

کارل فریدریش گاوس ( Carl Friedrich Gauss )،‌ ریاضی دان آلمانی که تاثیرات ژرفی د رتوسعه ی شاخه های مختلف برداشته ، سهم زیادی در پیشرفت این علم داشت که مهم‌ترین آن همانا قضیه اساسی جبر می‌باشد. 

پس از کارهای اویلر ،‌ لاگرانژ ، گاوس ،‌ کوشی و بسیاری دیگر از بزرگترین ریاضی‌دانان تاریخ ، علم جبر به قرن بیستم رسید که با شروع این قرن و به دلیل کشف تناظر های شاخه‌هایی از این علم با شاخه‌هایی از هندسه ،‌ این علم در شاخه‌های مختلف پیش رفت. 
از جمله بزرگ‌ترین پیشرفت های جبر و ریاضیات در این قرن ، کلاس‌بندی گروه‌های ساده‌ی متناهی می‌باشد. 

---

کلاس‌بندی

• جبر مقدماتی:در این شاخه از جبر ، ویژگیهای اعمال چهارگانه در دستگاه اعداد حقیقی ثبت می‌شود.علائمی تعریف می‌شوند که بوسیله آن اعداد ثابت و متغیرها از هم تفکیک می‌گردد و روش هایی که برای حل معادلات مورد استفاده قرار می‌گیرد.

• جبر مجرد:در این شاخه ساختارهای جبری از قبیل گروهها، حلقه ها و میدان هاتعریف می‌شوند و در مورد خصوصیات آنها بحث می شود.این شاخه از جبر که حوزه پژوهش بسیاری از ریاضی‌دانان معاصر خود به شاخه‌های مختلفی تقسیم می‌شود:
  • جبر جابجایی
  • جبر ناجابجایی

• جبر خطی: به بررسی فضاهای برداری و نگاشت‌های خطی بین این فضاها می‌پردازد و کاربدهای فراوان در شاخه‌های مختلف علم دارد.

گالوا

زندگینامه اوریست گالوا
آنچه از زندگی گالوا می دانیم بیشتر شبیه به یک داستان رمانتیک و بلکه تراژدی است. زیرا در تراژدی حتماً نباید قهرمان داستان به طرز فجیعی کشته شود، بلکه تراژدی را می توان به عنوان سرکوب نمودن نبوغ یک نابغه و در نظرنگرفتن و توجّه نکردن به او نیز دانست.

زندگینامه اوریست گالوا ,ریاضیدان, همفری بوگارت,بیوگرافی بازیگران زن, بیوگرافی لیلا حاتمی, سلیمه, ادیسون زندگینامه, شهاب حسینی, رسول ملاقلی پور, ادیسون زندگی نامه جابر بن حیان,زندگینامه اوریست گالوا - آکاایران

آنچه از زندگی گالوا می دانیم بیشتر شبیه به یک داستان رمانتیک و بلکه تراژدی است. زیرا در تراژدی حتماً نباید قهرمان داستان به طرز فجیعی کشته شود، بلکه تراژدی را می توان به عنوان سرکوب نمودن نبوغ یک نابغه و در نظرنگرفتن و توجّه نکردن به او نیز دانست.

اواریست گالوا را حتّی کسانی که دستی برریاضیات دارند هم، نمی شناسند چه رسد به افراد عادّی که بیشتر ریاضیدانان بزرگ و مشهوری چون نیوتن و اویلر و ... را می شناسند. اواریست گالوا را حتّی دانشجویان ریاضی هم به خوبی نمی شناسند.

در یکی از روزهای سال 1811 میلادی، درنزدیکی پاریس، پسری به دنیا آمد که او را «اواریست» نام نهادند. چون والدین پسر، خود، افرادی تحصیل کرده بودند، تا سنّ 12 سالگی نزد مادرش به تحصیل و فراگیری علم پرداخت. پس از آن به مدرسه رفت. در دروس عادّی مدرسه دانش آموزی متوسّط بود. امّا هنگامی که کتاب مبانی هندسه اثر «لژاندر» به دستش رسید و آنرا مطالعه کرد به شدّت تحت تأثیر قرار گرفت. می گویند که او این کتاب را مانند یک کتاب داستان عادّی خوانده است و فقط با یک بار مطالعه آن، بر مطالب کتاب احاطه کامل یافته است. ازهمین جا بود که با کارهای ریاضیدانان بزرگی چون لاگرانژ و آبل آشنا شد و آنها را مطالعه کرد. هنگامی که 15 ساله شد، خودش به تنهایی یک خواننده حرفه ای آثار ریاضی بود و کشف کردن در دنیای ریاضی را آغاز کرد و به کشفیّات مهمی نیز دست یافت. در آن سنّ و سال کم و بدون بهره بردن از هیچ تحصیلات عالی رسمی، گالوا قادر بود به کشفیّاتی برسد که او را به شهرتی جاودانه در دنیای ریاضیات برساند. شهرتی که هیچگاه طعم آنرا در زمان حیاتش نچشید.

«دوپوی» در جمله ای راجع به شرح حال گالوا می گوید: «کتاب های جبر مقدّماتی هرگز گالوا را قانع نکرد زیرا در آنها جای پایی از مکتشفین نمی یافت. درست از اوّلین سال ریاضی به لاگرانژ روی آورد.»

دست نوشته هایش از نظم و ترتیب خوبی برخوردار نبود و به دلیل ذهن نیرومندی که داشت بیشتر محاسبات ریاضی را به صورت ذهنی انجام می داد و فقط نتایجش را یادداشت می کرد. مقالات و مطالبی که می نوشت مانند اکثر مقالات ریاضیدانان قرن هجدهم، خلاصه و بی ترتیب بودند. سبک نوشتنی که در ریاضی نویسی امروزی، کاملاً نامأنوس و نامرسوم است.

مدرسه پلی تکنیک پاریس، مدرسه ای بود که ریاضیدانان بزرگی در آنجا تربیت شده بودند و دو بار تلاش گالوا برای ورود به این مدرسه، ناکام ماند. گالوا خود به خوبی می دانست که از بسیاری از کسانی که پذیرفته شده بودند، شایستگی بهتری دارد. امّا او ناامید نشد و خود به مطالعه ریاضی پرداخت. به عقیده بسیاری از ریاضیدانان بزرگ، پذیرفته نشدن گالوا در مدرسه پلی تکنیک پاریس، خُسران زیادی برای علم ریاضیات به همراه داشته است.

کشفیّات اساسی او در معادلات چند جمله ای بود که در سال 1829 برای اوّلین بار، طی مقاله ای، آنها را به آکادمی علوم پاریس فرستاد. کسی که مقالات ارسالی به آکادمی را از نظر علمی، قضاوت و داوری می کرد، «آگوستن لویی کوشی» بود. کوشی ریاضیدان بزرگ و ماهری بود و این توانایی را داشت که بتواند با مطالعه مقاله گالوا، آنرا بفهمد و به ارزش کشفیّات او پی ببرد. امّا دراین بین، کوشی، مقاله گالوا را گم کرد و دیگر نتوانست آن را پیدا کند. شاید این گم شدن مقاله را بتوان به حساب بدشانسی خود گالوا گذاشت!!

بعد از این ماجرا، گالوای شجاع، کارهایش را در مسابقه سال 1830 جایزه بزرگ آکادمی در ریاضیات شرکت داد. مقاله گالوا بدون شک باید برنده این جایزه می شد. امّا این بار هم بخت با گالوا یار نبود زیرا «فوریه» که منشی آکادمی بود، مقاله گالوا را با خود به خانه برد و به طور ناگهانی پیش ازخواندن آن فوت کرد و مقاله گالوا دوباره گم شد!!

گالوا نسخه دوّم مقاله اش را به آکادمی فرستاد. این بار قضاوت درباره مقاله، بر عهده «پواسون» بود. هنگامی که پواسون مقاله گالوا را مطالعه کرد، در حاشیه یکی از برهان های گالوا، یادداشتی به این مضمون نوشت : «برهان این هم ناکافی است امّا بنابر بخش 100 از مقاله آقای لاگرانژ، برلین، 1771، درست است.»

چه اتّفاقی افتاده بود ؟ مگر می شود برهان یک قضیه، ناکافی امّا درست باشد ؟

گالوا در یادداشتی دست نویس به پواسون پاسخ داد : «اثبات خواهد شد.»

شاید منظور گالوا، چیزی شبیه به «آن بماند تا ببینیم» بوده است. با این حال منظور گالوا این بوده است که «لطفاً به بررسی بقیه قسمت های مقاله بپردازید تا من برهان را در آینده کامل کنم.»

امّا پواسون در گزارش خود به آکادمی ازمقاله گالوا به عنوان یک کلّیت یاد کرده و می نویسد : «ما تمام کوشش خود را برای درک برهان آقای گالوا به کار بردیم، امّا استدلال های ایشان به اندازه کافی روشن نیست و به اندازه کافی پرورانده نشده اند تا ما بتوانیم درباره درستی آنها قضاوت کنیم.»

پواسون امیدوار بود که گالوا به اصلاح و توسعه کار عرضه شده خویش بپردازد تا بتواند برهان کاملتری را به آکادمی ارائه دهد. امّا گالوا می دانست که برهان هایش درست هستند و به علاوه، دانش و درک او از جبر، بسیار فراتر از دانش کسانی است که مقاله او را داوری می کنند.

واقعیّت نیز همین بود که داوران آکادمی، دانش و توانایی فهمیدن استدلال های گالوا را نداشتند. از طرف دیگر، سنّ کم گالوا که در آن زمان فقط 19 سال داشت و مواجه شدن داوران با دست نوشته ای نا مفهوم و همچنین اعتقادات ضدّ دولتی گالوا، همه و همه دست به دست هم داده بودند تا مقاله گالوا مورد تأیید آکادمی علوم پاریس قرار نگیرد. به طوری که پواسون در انتهای گزارش خود به آکادمی می نویسد : «به صورتی که در حال حاضر مقاله به آکادمی ارائه شده، نمی توانیم تصویب آنرا به شما توصیه کنیم.» و این یعنی مقاله گالوا رد شده است.

پس از رد شدن مقاله توسط پواسون، گالوا به شدّت ناراحت و تلخ کام شد و بعد از آن برای پروراندن مقاله خود و قابل فهم تر ساختن آن چنانکه پواسون می خواست، ابداً هیچ کوششی نکرد.

به خاطر این وقایع یا به خاطر آنکه پدرش طرفدار جمهوری بود، گالوا به انتقاد شدید از رژیم بوربونها دست زد و به گارد ملّی فرانسه یعنی سازمان جمهوری خواهان پیوست. در این زمان، فرانسه، سخت گرفتارآشوبهای سیاسی بود. گالوا به خاطر فعالیّت های سیاسی اش محاکمه شد و به عنوان زندانی سیاسی، چند ماهی را در زندان گذراند.

پس از آزادی از زندان در سال 1832، گرفتارعشق دختری عشوه گر شد. امّا گالوای بدشانس در بازی عشق نیز شانس نیاورد و بر سردستیابی به این دختر ناگزیر به انجام یک دوئل مرگبار شد.

شب قبل از آن دوئل مرگ آفرین، نامه ای به دوستش «ژوزف لیویل» می نویسد و در آن، ناگفته ها و یافته های ریاضی اش را به اختصار شرح می دهد و از او می خواهد تا توجّه جهان ریاضی را به اهمیّت کارهایش جلب کند. او حتّی در این نامه از ژاکوبی یا گاوس درخواست می کند که نظرشان را نه درمورد اهمیّت این قضایا، بلکه در مورد اهمیّت آنها، بیان کنند.

جمله معروف «من وقت ندارم» را گالوا در یک یادداشت حاشیه ای، احتمالاً در شب قبل از دوئل، در ارتباط با برهان گزاره دوّم خود که گفته است نیاز به تکمیل شدن دارد، نوشته است. چون دیگر وقت کافی برای تکمیل آن برهان نداشت. گرچه در ابتدا، اثباتش غلط به نظر می رسد.

او درباره دوئلی که فردای آن شب جان او راگرفت نیز می نویسد : «من قربانی یک زن عشوه گر گمنام شده ام... این یک نزاع اسف بار است که جان مرا می ستاند ... آه! چرا باید برای یک چیز بی ارزش بمیرم»

سرانجام، دوئل در 25 قدمی صورت گرفت. تیر به شکم گالوای بدشانس خورد و به زمین افتاد. ساعت ها در آنجا ماند تا آنکه دهقانی که از آنجا عبور می کرد، او را به بیمارستان برد. گالوا روز بعد، یعنی 31 مه 1832در سنّ 20 سالگی فوت کرد و در بخش عمومی قبرستان مونت پارناس به خاک سپرده شد.

14 سال پس از مرگ گالوا یعنی در سال 1846، طرفداران اندکش موفق شدند مخاطبینی برای کارهایش پیدا کنند و به عمق کشفیات او تا حدودی دست یابند. قسمتی از نوشته هایش توسط ژوزف لیویل در مجله ریاضیات به چاپ رسید.

لیویل در اطلاعیه پیش از چاپ کارهای گالوا، وقتی که فهمیده بود روش های گالوا درست بوده اند و می توان قضیه هایش را با دقّت زیاد اثبات کرد، از آن به عنوان «یک لذّت جاوید در زندگی اش» یاد می کنند. پس از آن، شناسایی و درک اهمیّت فراوان کارهایش به سرعت آغاز و احترام به گالوا بیشتر شد. شهرت گالوا 14 سال پس از مرگش آغاز شد. به طوری که در حال حاضر یکی از بزرگترین ریاضیدانان خلاّق تمام عصرها به شمار می آید.

او زنده نماند تا به گسترش عمیق تر کاربردها و توسعه ی نظریه خود که بعدها «نظریه گالوا» نام گرفت، بپردازد. نظریه گالوا امروزه یکی از مباحث مهم و پرکاربرد جبر مجرد و نظریه گروه ها است. حتّی امروز، ریاضیات در اثر حادثه غم انگیزی که برای او روی داده است، احتمالاً بضاعت کمتری دارد.